Karel Řepa se narodil 23. října 1895 do rodiny pekařského živnostníka jako nejstarší ze čtyř synů. V roce 1909 nastoupil do učení k pardubickému staviteli Františkovi Leiskému, které ukončil roku 1912. Již v době raných studijních let prokázal své výtvarné nadání. Po ukončení řemeslného vzdělání následovalo studium na Státní průmyslové škole stavební, které přerušila první světová válka, a tak maturitní zkoušku mohl složit až ve školním roce 1918/1919.

Úspěšně vykonané přijímací zkoušky na Státní uměleckoprůmyslovou školu v Praze umožnily Karlu Řepovi studovat speciální školu architektury Josipa Plečnika. pražskou UMPRUM. Plečnika následoval až do slovinské Lublaně, kde svá studia dokončil (s Plečnikem si dopisoval ještě v 50. letech). Později pracoval krátce v Praze v ateliéru arch. Františka Krásného a natrvalo se nakonec usadil v Pardubicích, kde od poloviny 20. let projektoval řadu moderních budov.

Samostatná tvůrčí činnost Karla Řepy byla na konci 20. let 20. století ovlivněna funkcionalismem a za jeho umělecký vrchol je považován soubor výstavních pavilonů pro areál Výstavy tělesné výchovy a sportu v Pardubicích konané v roce 1931. Odborného uznání se za tuto práci Karlu Řepovi dostalo i na mezinárodním poli. Sportovní stadion koncipovaný pro areál výstaviště v Pardubicích byl oceněn na Světové výstavě v Bruselu v roce 1935.

Dodnes se z výstavy dochovaly pouze části sportovního stadiónu s klopenou cyklistickou dráhou a hlavní pavilon – budova Průmyslového muzea (dnešní Střední průmyslová škola potravinářská). Mezi další významné projekty Karla Řepy patří pardubická vila Viktora Kříže a zejména projekt pardubického hlavního nádraží, na kterém v letech 1947-1948 spolupracoval s Karlem Kalvodou a Josefem Dandou. Jedna z nejvýznamnějších staveb poválečného funkcionalismu s prostornou odbavovací halou, hotelem a podzemním kinem, byla dokončena už ve stalinské éře.

V posledních letech své tvůrčí kariéry spolupracoval také se svým synem Miroslavem, a to na projektu divadla ve Zlíně (1957) či návrhu úpravy okolí Národního divadla v Praze (1959).